Ejercicios CARNOT - NO PUBLICADOS

Ejercicio 5 · ¿Compramos la patente? (límite de Carnot)

Enunciado (pág. 37 · Ej. 5)
Un inventor nos ofrece un motor térmico reversible que funciona entre dos fuentes térmicas, una de 270 ºC y otra de 610 ºC, asegurando que tiene un rendimiento del 48 %. ¿Le compraremos la patente? Razona la respuesta.
Solución ▼
Datos:
Tc = 610 ºC
Tf = 270 ºC
ηinventor = 48 %

1) Pasamos a Kelvin

Tc = 610 + 273 = 883 K
Tf = 270 + 273 = 543 K

2) Rendimiento máximo posible (Carnot)

η = 1 − (Tf/Tc) = 1 − (543/883)
ηCarnot = (883 − 543) / 883 = 340 / 883 ≈ 0,385  → 38,5%

3) Comparación y conclusión

El rendimiento máximo teórico entre esas dos temperaturas es el de Carnot: ηCarnot ≈ 38,5%.
Puesto que el inventor afirma que su motor ofrece un rendimiento del 48% que es mayor que el límite de Carnot 38,5%, no se comprará la patente ya que es imposible que el rendimiento sea mayor que el de Carnot.

Ningún motor que trabaje entre Tc y Tf puede superar a Carnot.

Ejercicio 6 · Calor mínimo por ciclo (Carnot)

Enunciado (pág. 37 · Ej. 6)
Una máquina térmica opera entre dos fuentes de temperatura 120ºC y 30ºC. Si se desea que en cada ciclo proporcione 1000 J de trabajo, ¿cuál es la cantidad mínima de energía en forma de calor que debe recibir de la fuente caliente en cada ciclo? (Qc=4366,8 J)
Solución ▼
Datos:
Tc = 120 ºC
Tf = 30 ºC
W = 1000 J

1) Pasamos las temperaturas a Kelvin

Tc = 120 + 273 = 393 K
Tf = 30 + 273 = 303 K

2) Rendimiento máximo (Carnot)

η = 1 − (Tf/Tc) = 1 − (303/393)
η = (393 − 303)/393 = 90/393 ≈ 0,229  → 22,9%

3) Calor mínimo que debe recibir del foco caliente

η = W / Qc ⇒ Qc = W / η
Qc,min = 1000 / 0,229 ≈ 4366,8 J

El calor es mínimo cuando el rendimiento es el máximo posible (límite de Carnot).

Ejercicio 8 · Máquina de Carnot (Q cedido y T del foco frío)

Enunciado (pág. 37 · Ej. 8)
El rendimiento de una máquina de Carnot es del 30%. La máquina absorbe 200 cal de calor por ciclo de un depósito caliente que está a 500 K. Determina el calor expedido por ciclo y la temperatura del depósito frío.
Solución ▼
Datos:
η = 30% = 0,30
Qc = 200 cal
Tc = 500 K

1) Trabajo útil por ciclo

η = W / Qc ⇒ W = η · Qc
W = 0,30 · 200 = 60 cal

2) Calor expedido (cedido al foco frío) por ciclo

Qf = Qc − W ⇒
Qf = 200 − 60 = 140 cal

3) Temperatura del foco frío (Carnot)

η = 1 − (Tf/Tc) ⇒ Tf = Tc · (1 − η)
Tf = 500 · (1 − 0,30) = 500 · 0,70 = 350 K

Resultado: Qf = 140 cal y Tf = 350 K.

Ejercicio 9 · Bomba de calor (Carnot invertido)

Enunciado (pág. 37 · Ej. 9)
Una bomba de calor que funciona según un ciclo de Carnot invertido extrae energía en forma de calor de la atmósfera a -5 ºC y la bombea a una habitación que se encuentra a 17 ºC.
a) Calcular la eficiencia.
b) Si en cada ciclo consume 1000 J de energía eléctrica, ¿qué cantidad de energía en forma de calor proporciona a la habitación en cada ciclo? 
(COP ≈ 13,18 y Qc ≈ 13180 J)
Solución ▼
Datos:
Tf = -5 ºC (atmósfera)
Tc = 17 ºC (habitación)
W = 1000 J por ciclo

1) Pasamos a Kelvin

Tc = 17 + 273 = 290 K
Tf = -5 + 273 = 268 K

a) Eficiencia (COP) como bomba de calor ideal (Carnot)

COP = Tc / (Tc − Tf )
COP = 290 / (290 − 268) = 290 / 22 ≈ 13,18

b) Calor que entrega a la habitación por ciclo

COP = Qc / W ⇒ Qc = COP · W
Qc = 13,18 · 1000 ≈ 13180 J

Ejercicio 7 · Motor de Carnot + frigorífico

Enunciado (pág. 37 · Ej. 7)
Una máquina térmica que funciona según el ciclo de Carnot, entre dos focos de temperatura, Tc = 650 K y Tf = 273 K.
a) Calcula el rendimiento. (58%).
b) Si la máquina térmica recibe 850 kJ de calor y el trabajo útil que realiza se emplea para accionar un circuito frigorífico que trabaja entre 273 K y 303 K, ¿qué calor estará eliminando del circuito frigorífico del recinto que se pretende enfriar? (4,48 MJ)
Solución ▼
Datos:
Motor Carnot: Tc=650 K, Tf=273 K, Qc=850 kJ
Frigorífico: Tf=273 K, Tc=303 K
El trabajo del motor se usa como trabajo del compresor: Wfr = Wmotor

a) Rendimiento del motor (Carnot)

η = 1 − (Tf/Tc) = 1 − (273/650)
η = (650 − 273)/650 = 377/650 ≈ 0,58  → 58%

b) Trabajo del motor y “calor eliminado” por el frigorífico

Wmotor = η · Qc ⇒
Wmotor = 0,58 · 850 kJ = 493 kJ
COP (frigorífico Carnot) = Tf / (Tc − Tf)
COP = 273 / (303 − 273) = 273 / 30 = 9,1
COP = Qf / W ⇒ Qf = COP · W
Qf = 9,1 · 493 kJ = 4486 kJ ≈ 4,48 MJ